Zu zwein auf der Bar

Der Gewinner hat den Sieg als bestes Argument und muss sich niemandem gegenüber rechtfertigen. Im Weltmeisterschaftsfinale 2013 kam es im 9. Spiel zwischen Vyacheslav Pryadkin (Schwarz) und Lars Trabolt (Weiß), dem 6-maligen Finalteilnehmer und Weltmeister von 2008, zu folgender Spielsituation:¹

Pryadkin_Trabolt

Bild 1: Pryadkin (Schwarz) vs. Trabolt (Weiß).

Pryadkin spielte 7/1 6/1*, schickte damit einen zweiten Weißen auf die bar und machte einen Punkt im Haus.

Bild 2: Pryadkins Zug. Ein guter Zug?

Bild 2: Pryadkins Zug.

War das ein guter Zug?

Auf 2 und 3 entsteht eine hässliche Lücke und mit seinen Steinen auf den weit entfernten Feldern kommt Schwarz nicht voran. Im nächsten Zug ist an einen weiteren Punkt im Haus nicht zu denken und Unterstützung für die 7 ist noch mindestens acht Felder entfernt (was immerhin innerhalb der erwartbaren Schrittweite des nächsten Wurfs ist). Ist es nicht besser, einen zusammenhängenden Block zu bewahren und Material von hinten heranzuspielen? Ist es also nicht beispielsweise besser, 16/5 oder 18/7 zu spielen? Computer-Analysen dieser Stellung behaupten das.

Wie groß ist also der Vorteil für Schwarz, wenn Weiß nun zwei Steine statt vormals einem auf der bar hat? Wiegt er die Nachteile auf? Eine gute Gelegenheit, ein paar Fakten zusammenzustellen und gleichsam mit Kanonen auf Spatzen zu schießen.

Wahrscheinlichkeiten bei drei offenen Feldern, wenn nur ein Stein auf der bar liegt:

Bei drei offenen Feldern im Schwarzen Haus ist die Wahrscheinlichkeit, dass Weiß im nächsten Zug hereinspielt, p=75% (das sind 27 von 36 Zügen. Die Anzahl günstiger und ungünstiger Würfe erhält man durch Abzählen im Bild 2 meines Artikels über elementare Wurfwahrscheinlichkeiten). Die Wahrscheinlichkeit, dass Weiß spätestens nach zwei Zügen hereinspielt hat, ist 1-(1-p)(1-p)=0,94. Nach drei Zügen ist sie 1-(1-p)(1-p)(1-p)=0,98 usw. Die Ergebniss für bis zu fünf Würfe und für ein und zwei freie Felder habe ich in der Tabelle 1 zusammengefasst. Doch zunächst die

Wahrscheinlichkeiten bei zwei offenen Feldern, wenn zwei Steine auf der bar liegen:

Bei zwei offenen Feldern im Schwarzen Haus ist die Wahrscheinlichkeit, dass Weiß im nächsten Zug beide Steine hereinspielt gleich 11% (das sind 4 von 36 Würfen. Mit 16 von 36 Würfen kommt er gar nicht herein. Mit weiteren 16 schafft es nur ein Stein.) Die Wahrscheinlichkeit, dass Weißspätestens nach zwei Würfen beide Steine hereingespielt hat (vorausgesetzt, dass dann immer noch zwei Felder offen sind), ist mit 36%  immer noch klein; nach drei Würfen überschreitet sie geradeso die 50-50-Grenze und liegt bei 55%.

Alle Werte sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt:

Tabelle 1: Wahrscheinlichkeiten [%] zum Hereinspielen von einem und von zwei Steinen bei ein bis drei freien Feldern

Tabelle 1: Wahrscheinlichkeiten [in %] zum Hereinspielen von einem und von zwei Steinen bei ein bis drei freien Feldern.

Haftung für die Richtigkeit übernehme ich keine. Ich hab diese Aufstellung des Abends bei einer Flasche Ruppaner Export und während einer Fußballübertragung ganz altmodisch mit Stift und Papier produziert. (Wie so ein Gekritzel aussieht, hält das Bild 3 fest. Für die Nachwelt.) Vielleicht komme ich irgendwann mal dazu, die Werte zu überprüfen.
Gekritzel

Bild 3: Zur Unterstützung des Antrags des Autors auf Haftungsausschluss für Tabelle 1.

Die drei Spalten für einen Stein wurden bereits von Magriel angegeben (dort Tabelle 5, siehe auch meine Buchbesprechung), aber die Werte in den Spalten für zwei Steine sind besonders interessant. Schon in der ersten Zeile (1 Wurf) erkennt man, wie drastisch ein zweiter Stein auf der bar einen Spieler zurückwirft. Die Wahrscheinlichkeit `wieder am Spiel teilnehmen zu können‘ sinkt auf ein Drittel bei drei freien Feldern; auf ein dramatisches Fünftel bei zwei freien Feldern; und bei nur einem freien Feld auf ein Zehntel der bereits geringen Wahrscheinlichkeit von 31%, die schon bei nur einem Stein auf der bar die Rückkehr ins Spiel erschwerte.

Zurück zur Spielsituation

Den einen Stein auf der bar spielt Weiß also mit 75 Prozent Wahrscheinlichkeit wieder hinein. Holt Schwarz bereits jetzt mit 16/5 oder 18/7 einen builder hinzu, so wird sein jetzt noch nutzbarer builder auf der 7 mit eben jener Wahrscheinlichkeit inaktiv. Mit den zwei buildern, die Schwarz dann noch bleiben, gibt es aber nur wenige Möglichkeiten einen weiteren Punkt im Haus zu machen (von denen Weiß aller Wahrscheinlichkeit nach bereits einen besetzt hält). In der Konsequenz hat Schwarz für das Spiel 7/1 6/1 erst einmal keine Möglichkeit mehr und muss außerhalb des Hauses spielen.

Indem er das zunächst nachteilig erscheinende Spiel 7/1* 6/1 jetzt spielt, reduziert er die Möglichkeit von Weiß, sofort ins Spiel zurückzugelangen, auf 11%. Selbst nach drei Zügen ist Weiß mit einer fast 50-50-Change noch nicht wieder im Spiel. Genügend Zeit für Schwarz um sein Material zu holen! (Und der Verlust des 7-Punkts fällt kaum ins Gewicht.)

Pryadkin gewann Spiel, Match und Turnier. Doch neben dem Erfolg rechtfertigt auch unsere reifliche Überlegung, in Bild 1 das zunächst nachteilig erscheinende  7/1* 6/1 zu spielen.

Anmerkung

¹Das gesamte Match findet man in Othellos Backgammon-Datenbank wenn man dort nach world championship 2013 final sucht.

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Das untenstehende Bild 4 hat mit diesem blog übrigens nichts zu tun. Auch was es im blog der Backgammon-Weltmeisterschaft zu suchen hat, bleibt mir unklar. Ich schätze aber, dass auch meine Seite allein wegen dieses Photos und mit einer richtigen Verschlagwortung (sagen wir Glücksspiel, Geld, Monte Carlo und Luxusauto) öfter angeklickt werden wird.
Bild 4: Auto, das mit dem Spiel nichts zu tun hat.

Bild 4: Auto, das mit dem Spiel nichts zu tun hat.

Entscheidung beim Herausspielen

Letztens fragte mich jemand, was er in folgender Situation spielen solle:

Die Situation

Bild 1: Die Situation

Nun, es gibt drei Möglichkeiten:

Bild 2: Die drei möglichen Spiele

Bild 2: Die drei möglichen Spiele 1. 6/off 6/3 (links) 2. 6/off 5/2 (mittig) 3.  6/off 4/1* (rechts)

Bestimmen wir zunächst das Risiko, geschlagen zu werden, das wir mit jedem der Spiele eingehen. Bestimmen wir dann, wieviele schlechte Züge es als Konsequenz des eigenen Spiels im nächsten Zug geben wird.

  1. 6/off 6/3 (links in Bild 2): Weiß schlägt mit jeder 2, also nur mit 11 von 36 Würfen. Falls wir nicht geschlagen werden, haben wir im folgenden Zug das Risiko folgender „schlechter“ Würfe zu ertragen (schlecht heißt, dass wir wieder mindestens einen blot lassen müssen): 66, 65, 64,62,55, 54, 52, 44,  das sind 13 von 36 Würfen. Jedoch haben wir auf dem höchsten Feld nun keinen Stein mehr liegen und können von der 5 genausogut mit Augenzahl 5 wie mit Augenzahl 6 herausspielen. Wir haben die Wahrscheinlichkeit, von der 5 herausspielen zu können, damit beinahe verdoppelt.
  2.  6/off 5/2 (mittig in Bild 2): Weiß schlägt mit jeder 6 und mit 42, das sind 13 von 36 Würfen. Schlechte Würfe im folgenden Zug sind: 65, 63, 61, 54,  52, 43,32,  das sind nur 7 von 36 Würfen.
  3. 6/off 4/1* (rechts in Bild 3): Weißt schlägt mit jeder 1, mit jeder 6 und mit 33. Macht 21 von 36 Würfe. Muss ich noch mehr sagen?

Ein weiterer wichtiger Unterschied zwischen dem 1. Spiel (links) und den beiden anderen Spielen, der sich im Kopf nicht mehr rechnerisch bestimmen lässt — der aber dem geübten Spieler optisch sofort klar ist — ist die im 2. und 3. Spiel entstehende Lücke auf dem 3. Feld. Diese Lücke wird nur mit Mühe gefahrlos zu überbrücken sein, solange Weiß noch lauert.

Das 1. Spiel bietet also die geringste Gefahr, im direkten Gegenzug geschlagen zu werden. Es trägt den Stein von der 6 ab und es lässt keine Lücke. Drei Pluspunkte für Spiel 1 (links). Es bringt aber andererseits mehr schlechte Würfe im nächsten Spiel mit sich als das 2. Spiel (mittig). Ein Pluspunkt für Spiel 2. Pluspunkte für Spiel 3 (rechts)? Nicht in Sicht. Also:

6/off 6/3 ist in der Regel das beste Spiel.

Bild 4: Schlag mich ruhig. Sogar 6/off 4/1* ist völlig legitim

Bild 3: Spiele 6/off 4/1*.

post srciptum: Wie jede Regel wird auch diese durch ihre Ausnahmen bestätigt. Diese entstehen hier durch das gegnerische Spiel, das wir bisher unberücksichtig gelassen haben. Eine (extreme) Ausnahme zeigt das Bild 3. Hier tut es uns nicht sehr weh, geschlagen zu werden. Im Gegenteil; mit großer Wahrscheinlichkeit werden wir direkt zurückschlagen und Weiß noch weiter zurückwerfen. Je nach Verteilung der weißen Steine im Außenfeld (liegen dort auch blots?) kann sogar das bisher ignorierte 6/off 4/1* überaus ratsam sein: Wenn Weiß extrem offen daliegt, dann wollen wir geschlagen werden weil ein gammon in der Luft liegt.

Schlagen wagen?

Letzten Freitag ergab sich in einer Partie gegen Farzad, den alten Hasen, nach wenigen Zügen folgende Situation für Schwarz (mich) am Zug:

Situation 1

Bild 1: Schwarz am Zug hat noch nicht gewürfelt.

Ich hatte bereits den goldenen Punkt gemacht, Farzad (Weiß) hatte sein Spiel noch nicht entwickeln können. Mit der 5 wollte er jedoch meine Haustür (7) besetzen und auf 14 hatte er Material zum Spiel vor seinem eigenen Haus bereitgestellt. Nun würfelte ich 6 und 4.

Stellung 1, 6 und 4 gewürfelt

Bild 2: Schwarz am Zug hat 6 und 4 gewürfelt.

Mein Kontrahent erwartete in Kenntnis meiner generellen Risikobereitschaft, dass ich schlagen würde. Auch andere Meinungen, die ich einholte, sprachen eindeutig fürs Schlagen. Entsprechend groß war die allgemeine Überraschung, als ich das konservativ anmutende 8/2 6/2 spielte:

Bild 3: Mein Spiel

Bild 3: Mein Spiel.

Warum halte ich dies für das beste Spiel? Vergleichen wir es an dieser Stelle mit den beiden besten Alternativen, die im folgenden abgebildet sind.

Möglichkeit_2

Alternative 1

Möglichkeit_3

Alternative 2

Weiß hat drei blots. Nur mit 5 Würfen [einem 2er-Pasch (5/7 12/14 …), mit 32 (14/17) und mit 52 (14/19 5/7)] kann er alle diese drei blots im nächsten Zug sichern.  Das heißt, ich muss nicht in diesem Zug schlagen, sondern werde mit großer Wahrscheinlichkeit auch im nächsten noch schlagen können. Ich habe keine Eile. Spiele ich Alternative 1 (20/16 20/14*), muss ich den goldenen Punkt auf der 20 räumen und setze mich gleich doppelt direkter Gefahr aus, ohne auf meiner Seite des Bretts im Aufbau meines Spiel voranzukommen. Spiele ich Alternative 2 (13/9 13/7*), setze ich mich in etwa derselben Gefahr aus, habe aber wenigstens erste Aufbaumaßnahmen für ein gutes Spiel zwischen Feld 3 und 9 ergriffen. Alternative 2 allerdings hat den Preis, dass ich im Mittelpunkt meines Spiels (13) nur noch einen builder ruhen habe. Dennoch würde ich Alternative  2 wegen des potentiell konstruktiveren Aufbauspiels der Alternative 1 vorziehen.

Das konservative Spiel 8/2 6/2 aber — ein Spiel übrigens, dass ich im Allgemeinen weder in der Frühphase noch in Mittelteil des Spiels sonderlich positiv einschätze — lässt mich 1. den goldenen Punkt behalten, macht 2. mit einem zusätzlichen Punkt im Haus dem Weißen das Hereinspielen nach einem (sehr wahrscheinlichen) Geschlagenwerden im nächsten Zug schwer und verschafft mir so 3. mehr Zeit und Raum für konstruktives Spiel ab meinem nächsten Zug.

In der Tat zahlte sich das ungewohnt konservative Spiel schnell aus und ich hatte mein Gegenüber am Rande eines backgammon. Ein Spiel muss nicht immer schlecht sein, nur weil es konservativ aussieht, und Schlagen ist auch in vermeintlich offensichtlicher Position nicht immer die beste Option.

Aleia iacta est

Weil das Backgammon-Spiel ein Würfelspiel ist, hängt der Verlauf und der Ausgang einer Partie nicht allein vom Geschick und der Strategie der beiden Spieler ab, sondern wird über die zufälligen Realisierungen der verschiedenen möglichen Augenzahlen der Würfel wesentlich vom Zufall mitbestimmt. Diese Tatsache allein überrascht niemanden — wie oft jedoch habe ich schon müßige Debatten darüber erlebt, wie viel Anteil Glück und wieviel Anteil Spielgeschick denn nun zum (Miss-)Erfolg des eigenen Spiels beitragen. 50:50? 40:60? 60:40?

Wüerfel

„Ach Gott! wie doch mein erster war,
Find’ ich nicht leicht auf dieser Welt den andern!
Es konnte kaum ein herziger Närrchen seyn.
Er liebte nur das allzuviele Wandern,
Und fremde Weiber, und fremden Wein,
Und das verfluchte Würfelspiel.“

Weswegen wohl die gute Marthe in Goethes Faust das Würfelspiel derart verfluchte? Eines steht fest; über das Würfelglück lässt’s sich trefflich diskutieren. Ich für meinen Teil habe mich dazu entschieden, nicht über mein Wurfpech zu lamentieren und versuche stattdessen, auch in nervlich schwierigen Situationen an den weisen Leitsatz zu glauben:

Es gibt keinen schlechten Wurf, es gibt nur schlechtes Spiel.

Natürlich ist es dennoch überaus nützlich und wichtig, sich ein wenig mit Wurfwahrscheinlichkeiten auseinanderzusetzen. Und da ich mich als Anfänger auch einfachster Gedankengänge nicht schäme, habe ich sie verfolgt und hier aufgeschrieben, wohin sie mich geführt haben. Das Zwischenergebnis meiner Überlegungen, die Bilder 3 und 4, finde ich sehr nützlich und behaupte sogar, dass jeder Spieler eine solche Verteilung für alle eigenen und gegnerischen Steine stets vor dem inneren Auge haben sollte.

Endlichkeit des Spiels

Man könnte ja übrigens meinen, dass wegen der Unbestimmtheit der Würfelergebnisse eine Partie Backgammon prinzipiell auch unendlich lange dauern könnte. Doch hier kommt eine einfache Überlegung zu Hilfe und zeigt uns, dass eine Partie Backgammon immer zu einem Ende kommt. Es kann zwar sehr lange dauern, aber es gibt garantiert immer einen Sieger und einen Verlierer (anders als etwa im Schach).

Der Beweis geht ganz einfach: Man stelle sich vor, jeder Spieler habe nur noch einen Stein im Brett. Egal wie dieser positioniert ist, gibt es immer mögliche Wurfkombinationen, mit denen einer am anderen vorbeiläuft und herausspielen kann. Aufgrund der Gesetze der Wahrscheinlichkeit muss diese Wurfkombination aber irgendwann eintreffen, egal, wie unwahrscheinlich sie ist. Das war schon der Beweis, da dasselbe Argument für beliebig viele Steine im Brett gilt.

Merke (1)Jede Partie Backgammon kann in endlicher Zeit zu Ende gespielt werden.

Nun also zum Würfel(n): Obwohl im Backgammon mit zwei Würfeln gewürfelt wird ist es vielleicht von Nutzen, sich zunächst die Wahrscheinlichkeiten beim Wurf eines einzelnen Würfels anzuschauen. Zum warm werden.

Der einzelne Würfel

EinzelWürfel

Bild 1: Augenzahlrealisierungen des einzelnen Würfels.

Beim Einzelwürfel gibt es die sechs Realisierungen i=1,2,3,4,5,6, die bei einem nicht-gezinkten Würfel alle mit derselben Wahrscheinlichkeit auftreten: p(i)=1/6, das sind etwa 16%. Andersherum ist die Wahrscheinlichkeit, die Augenzahl i nicht zu würfeln: ¬p(i)=1-p(i)=5/6, das sind etwa 83%. Im Grunde genommen ist damit die gesamte Theorie des Einzelwürfels abgehandelt, die also recht überschaubar ist. Die Schwierigkeit in der Beherrschung des Backgammon-Spiels rührt aus der Verwendung eines zweiten Würfels, mit dem der Wahrscheinlichkeitsraum potenziert und die Situation schwerer beherrschbar wird.

Zwei Würfel

Beim gleichzeitigen Wurf zweier Spielwürfel bestehen 36 Realisierungsmöglichkeiten:

Bild 2 -- Zwei Würfel

Bild 2: Augenzahlrealisierungen zweier Würfel.

Ist keiner der beiden Würfel gezinkt, so muss jede Realisierung j gleich wahrscheinlich sein, p(j)=1/36. Da es aber zum Beispiel genau so wahrscheinlich ist, 6 und 2 zu würfeln, wie es wahrscheinlich ist, 2 und 6 zu würfeln, ist die Wahrscheinlichkeit für eine solche Realisierung zweier verschiedener Augenzahlen gleich 2·1/36=1/18, das sind etwa 6%. (Denn es ist für das Spiel egal, welcher Würfel die 6 und welcher die 2 realisert.)

Merke (2): Die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Kombination zweier verschiedener Zahlen zu würfeln, beträgt 1/18, das sind etwa 6% (was wirklich nicht viel ist.)

Merke (3): Die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Paschs beträgt 1/36, das sind etwa 3% (was noch weniger als nicht wirklich viel ist).

Daher:

Spekuliere nicht auf den Wurf einer bestimmten Zahlenkombination.

Es lohnt sich nicht.

Wegen dieser betrüblichen Nachricht gleich die ganze Wahrscheinlichkeit zu missachten, ist allerdings auch nicht ratsam.

Ein bisschen Wahrscheinliches

Denn man kann in der Theorie viel Nützliches erarbeiten, was andere nur durch sehr viel Ausprobieren lernen, und damit seine Taktik verbessern. Wie groß ist beispielsweise bei zwei Würfeln die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Augenzahl i mindestens einmal zu würfeln? Sie ist die Wahrscheinlichkeit, dass entweder der 1. Würfel ein i realisiert oder der zweite Würfel ein i realisiert oder beide Würfel ein i realisieren. Der Logik zufolge ist diese Wahrscheinlichkeit als die Summe der drei Einzelwahrscheinlichkeiten gegeben. Die Wahrscheinlichkeit, mit egal welchem der beiden Würfel eine bestimmte Zahl i zu würfeln, ist also p(i oder i)=p(i)+p(i)=1/6+1/6=1/3. Darin ist allerdings der ier-Pasch doppelt gezählt. Korrigiert man dies, so ist die Wahrscheinlichkeit p(i oder i)=1/3-1/36=11/36. Zu viel Mathe? Dann merke nur:

Merke (4): Die Wahrscheinlichkeit, dass beim Wurf von zwei Würfeln mindestens eine der beiden gewürfelten Zahlen gleich einer bestimmten gewünschten Zahl ist, ist 11/36. Das sind etwa 30%.

Eine direkte Folge hieraus:

Merke (5): Die Wahrscheinlichkeit, dass beim Wurf von zwei Würfeln eine bestimmte Zahl nicht gewürfelt wird, beträgt 25/36. Das sind etwa 70%.

Augenzahlsummen und Augenzahlkombinationen

Ein einzelner Stein kann, je nach gewürfelter Augenzahl, zwischen 1 und 12 Felder, mit einem 3er, 5er oder einem 6er-Pasch auch 15, 16, 18, 20, oder 24 Felder weit ziehen. Die Schrittweiten  1 bis 6 können mit der Realisierung eines einzelnen Würfels erreicht werden, die Wahrscheinlichkeit hierfür ist jeweils 11/36 entsprechend etwa 30%. Größere Schrittweiten als 6 können natürlich nur in Kombination beider Würfelrealisierungen erreicht werden.

Die Gesamtwahrscheinlichkeit für jede theoretische Schrittweite ist schnell hingeschrieben. In einem Diagramm dargestellt sehen sie wie folgt aus:

Bild 3 - Gesamtwahrscheinlichkeit aller möglicher Schrittweiten eines einzelnen Steins (ohne Hindernisse)

Bild 3: Gesamtwahrscheinlichkeit p aller möglicher Schrittweiten S eines einzelnen Steins (ohne Hindernisse).

Dem Verlauf dieses Balkendiagramms kann man insbesondere entnehmen, dass die Schrittweite 6 die höchste Realisierungswahrscheinlichkeit hat. Für größere Schrittweiten nimmt die Wahrscheinlichkeit dann abrupt ab, was natürlich daran liegt, dass diese Schrittweiten nur noch in einer Kombination beider Augenzahlen erreicht werden können.
Eine solche Wahrscheinlichkeitsverteilung kann man sich ohne große Mühe in das Spielfeld — vor einen eigenen oder einen gegnerischen Stein — hineingelegt denken. Diese Vorstellung ist sehr praktisch, wenn man sich die Wahrscheinlichkeiten der nächsten Schrittweiten eines Steins veranschaulichen möchte. Sie ist damit dazu geeignet, sowohl die eigenen Zugoptionen im nächsten Wurf als auch die Bedrohung eigener Steine durch den Gegner abzuschätzen. Das folgende Beispiel zeigt eine solche Projektion für einen weißen Stein auf dem 1. Feld bis hin zum 12. Feld, das heißt, bis zur Schrittweite 11. Hier ist wieder angenommen, dass keine blockierten Felder auf dem Weg liegen, auf die nicht gespielt werden kann:

Bild 4 - Projektion des Diagramms aus Bild 3 in das Spielfeld.

Bild 4: Projektion des Diagramms aus Bild 3 in das Spielfeld.

Ähnliche Projektionen der Wahrscheinlichkeitsfunktion in das Spielfeld kann man für jedes beliebige Feld durchführen. Je mehr gegnerische Steine dabei aber die Schrittweite blockieren, desto deutlicher weichen natürlich die tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten von den in Bild 4 gezeigten ab. Die folgende Sequenz zeigt anhand eines Beispiels den Einfluss des schwarzen Spiels auf die Beweglichkeit der weißen Steine. Eine direkte Flucht des Weißen ins Außenfeld ist in der dritten Position nur noch wenig wahrscheinlich.

Schrittweitenentwicklung

Bild 5: Entwicklung der Schrittweite aus Bild 4 in Abhängigkeit vom schwarzen Spiel.

 

Elementare Konsequenzen

Allein aus dieser Wahrscheinlichkeitsfunktion können einige taktische Grundregeln des Backgammon-Spiels abgeleitet werden (Die Betonung liegt hier auf taktisch. Aufgrund einer strategischen Überlegung können andere Züge bevorzugt gespielt werden – denn eine gute Strategie sollte immer über das reine Abschätzen von werde ich geschlagen oder kann ich schlagen? [die Taktik] hinausgehen.):

Zunächst stellt man fest: Die Schrittweite 6 hat die höchste Realisierungswahrscheinlichkeit (beinahe 50%). Dies ist der Grund für die Bedeutung des 7. Felds (des Feldes vor dem Haus). Daher:

Merke (6): Besetze die eigene Haustür.

Weil früh im Spiel das Blockieren der gegnerischen Steine im eigenen Haus hohe Priorität hat, kann man auch schnell Folgendes einsehen:

Merke (7): Besetze zusammenhängende Felder zwischen dem 4. und dem 9. (noch besser zwischen dem 5. und dem 9.) Feld.

Das `Zubauen‘ des eigenen Hauses auf Kosten der Besetzung des Außenfeldes ist erst in einer späteren Phase des Spiels sinnvoll. In Position 1 etwa könnte ein ungeübter weißer Spieler denken, er sei im Vorteil, weil er bereits einen Stein herausgespielt hat. (In der Tat ist er im PIP-count leicht voraus.) Der erfahrene Spieler sieht aber sofort, dass Schwarz mit hoher Wahrscheinlichkeit den Sieg davontragen wird, weil er den weißen 3er schon jetzt beinah aussichtslos eingekerkert hat. Weiß bräuchte eine 1 und eine 6. Schwarz kann aber mit der zusätzlichen Unterstützung von der 13 gemütlich von der 9 aus (immer von außen nach innen!) sein Haus zubauen.

Position 1

Position 1: Schwarz minimiert die Hoffnungen vonWeiß auf eine rasche Flucht.

Schließlich bemerken wir: Bleibt, egal wie man seinen Wurf spielt, immer ein Stein allein liegen (blot), so spielt man taktisch am besten so, dass dieser Stein möglichst nah am jeweils drohenden gegnerischen Stein zu liegen kommt (<3, je näher desto besser) oder möglichst weit weg (>10. 12 vermeiden). Die Gefahr, geschlagen zu werden, wird so minimiert. In Position 2 etwa bleibt bei jedem möglich Zug von Schwarz mindestens einer seiner Steine einzeln in Schlagweite des Weißen liegen. Der Zug, der die Wahrscheinlichkeit, geschlagen zu werden, minimiert, ist 10/4.

Position 2. Schwarz am Zug hat 5 und 1 gewürfelt.

Position 2: Schwarz am Zug hat 5 und 1 gewürfelt.

Merke (8):  Mit dem blot ran an den Gegner, oder bleib ihm fern.

So, nun sind meine Auslassungen lang genug geworden, denke ich. Vielleicht verlasse ich beim nächsten Mal das trockene Gebiet der Analyse und tauche stattdessen ein in die Geschichte des Backgammon-Spiels.

Tachte nard in Teheran

Im Januar war es soweit: Mein Antrittsbesuch beim neuen iranischen Teil meiner Familie in Teheran. Und wie besser sollte ich dem Stil der  iranischen Menschen Respekt erweisen, als indem ich Backgammon lerne?

Also fing ich schon Monate zuvor an, Backgammon zu üben und zu spielen. Da mich das Spiel fasziniert und ich gedenke, mich weiter und ausgiebig mit ihm zu befassen, habe ich mich entschieden, einen (meinen ersten) Blog aufzumachen und meine bescheidenen Erkenntnisse und Einsichten in das Spiel mitzuteilen. Wer immer Interesse an meinen blogs findet, ist hiermit herzlich eingeladen sich mit mir in Verbindung zu setzen und mich an seiner Meinung und Kritik teilhaben zu lassen.

Iraner sind verrückt nach Backgammon

Iraner sind verrückt nach diesem Spiel, das bei ihnen tachte nard (persisch: تخته نرد) heißt und von dem sie meinen, dass sie es selbst erfunden hätten. Die Parks in Teheran sind voll mit Backgammon spielenden Menschen (zumeist ältere Männer). Meist sieht das so aus, dass um die Spieler herum mehrere Zuschauer stehen und ohne Unterlass das Spiel kommentieren und einzelne Züge diskutieren. Ein Onkel meiner Frau rühmt sich damit, dass er seit seiner Pensionierung jeden Tag acht Stunden im Park verbringt um dort mit seinen Freunden Backgammon zu spielen.

2Spieler

Bild 1: In den Park hat man mich bei meinem ersten Besuch nicht gelassen. Zunächst musste wohl die Spielstärke des `Farhangi‘ abgecheckt werden. (Star Trek Fans aufgepasst: Europäer, die ja als erstes als Händler nach Persien kamen, werden dort farhangi genannt.) Dann eben im Privaten bei einer Dose alkoholfreien iranischen Biers.

Backgammon ist aber im Iran keineswegs ein Spiel für Alte. Nur spielen die Jungen eben nicht in Parks und auf öffentlichen Plätzen, sondern im Internet. Hierzu gesellt sich aber noch ein anderer, sehr wesentlicher Unterschied zwischen den Spielweisen der Generationen: Während die Jungen in Online-Matches und -Turnieren wie selbstverständlich mit dem Doppler spielen, gibt es nicht wenige Alte, die seit über 50 Jahren tachte nard spielen und vom Doppler noch nie auch nur gehört haben.

Spielen wie die Alten

Wurfzabel_Carmina_Burana

Bild 2: Ich zähle im Bild 34 Steine. Leider sind sie farblich nicht unterscheidbar, sodass mir eine Analyse der Stellung auch unter Berücksichtigung der vom modernen Backgammon abweichenden Regeln des Wurfzabel-Spiels nicht möglich ist.

Da ich zunächst von einigen Alten (bereits in Deutschland) in das Spiel eingeführt wurde, habe ich selbst bisher noch nie mit dem Doppler gespielt.  Vielleicht werde ich irgendwann mal damit anfangen, zurzeit aber spüre ich starke Vorbehalte gegen seine Verwendung. Jahrhunderte lang wurden backgammonähnliche Spiele (das duodecim scripta, trictrac, Wurfzabel, &c.)  ohne diesen vermaledeiten Würfel gespielt. (Das mittelalterliche Wurfzabel-Spiel  habe ich übrigens abgebildet gefunden in der Benedictbeurener Handschrift der Carmina Burana. Die im handschriftlichen Manuskript enthaltene Miniatur ist in wunderschönen Farben gehalten, im nebenstehenden Bild 2 ist sie als vereinfachte Strichzeichnung umgesetzt, und zwar nach der 1847 erschienenen Ausgabe von Johann Andreas Schmeller, dort Seite 247.)

Und soweit ich die Spieltheorie bis hierher überblicke, konnte wohl wirklich nur die Glücksspielindustrie auf die Idee eines solchen Würfels kommen! Jeder, der nur Interesse an einem interessanten, variantenreichen Spiel mit Freunden hat, hätte doch niemals Interesse an dem Dopplerwürfel!  Ich hoffe, in den nächsten blogs näher auf dieses meinerseitige Unbehaben in Bezug auf den Doppler eingehen zu können und mit Argumenten zu untermauern. Vielleicht lerne ich den cube dabei doch noch zu schätzen…

Was ist das Interessante an einem Backgammon-blog? Meiner Meinung nach drei Dinge:

  1. Analysen
  2. Historisches
  3. Zwischenmenschliches

Ich will also nicht lange drumherum schwurbeln, sondern mit einer kleinen Analyse beginnen.

1. … 1/7(2) 12/18(2) oder … 1/7 12/18(3)?

Während ich so meine ersten Züge machte (und ich habe sie sehr sehr sehr langsam gemacht. Top down statt speed up, anders als Thomas Koch es Anfängern in seinem blog rät, den ich damals freilich noch nicht kannte. Meinen „Lehrmeister“ hat meine Langsamkeit schlicht fertig gemacht) — während ich also meine ersten Züge machte, ergab sich, dass ich als Weiß mit einem 6er-Pasch eröffnen durfte (Schwarz hatte 4 und 3 gewürfelt und 1. 24/20 13/10  gespielt).

Position 1

Position 1: 1. 24/20 13/10. Spiele ich 1. … 1/7(2) 12/18(2) oder 1. … 1/7 12/18(3)?

Nun, meine Reaktion als ich den 6er-Pasch sah, war ganz klar: Ich spiele 1. …  1/7(2) und 12/18(2)!

Wie ich nun Monate später sehe, würde mein gnubg dasselbe spielen.  Er favorisiert diesen Zug und berechnet (3-ply ohne Doppler) eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 59%.

Mein iranischer Lehrmeister nun sagt mir zwar nicht, dass der Zug extrem schlecht sei, erkärt mir aber, dass er lieber 1. … 1/7 und 12/18(3) spiele. Sein Argument: Was soll man mit zwei Steinen auf der 18 anfangen? Klar, sie blockieren den Gegner in genau der richtigen Distanz beim Rausspielen. Aber mit dreien schaffe man sich viele Möglichkeiten, von der 17,18,19 aus sein Haus aufzufüllen. Dass er riskiert, auf der 7 geschlagen zu werden, sei ihm relativ egal. Denn 1. würde er nicht weit zurückgeworfen, 2. würde der schlagende Schwarze mutmaßlich recht entblößt auf der 7 liegen. Der Verlust des Schwarzen Steins auf der 7,  der schon zu dreiviertel ums Feld rum ist, würde Schwarz schwerer treffen als Weiß der Verlust der weißen 7. Einen weiteren Nachteil des Spiels 1. …  1/7(2) und 12/18(2), nämlich die geringe Beweglichkeit der beiden Weißen auf der 7, werden wir unten in meinem Selbstversuch erkennen.

Während mein Gegenüber persisch höflich ist und meinen Zug eben nicht mit „sehr schlecht“ bewertet, nimmt sich gnubg bei 1/7(1) 12/18(3) in seiner gewohnt rücksichtslosen Art eine sofortige Bewertung als sehr schlecht heraus. Farhangi-Stil. (Siehe auch mein post scriptum unten.)

Ich habe mir den Spaß erlaubt, je 3 mal gegen den grandmaster gnubg mit beiden Eröffnungsvarianten (im Folgenden A und B genannt) zu spielen — mein eigenes kleines rollout. (Zum Thema rollouts komme ich hoffentlich zurück, wenn ich auch auf den cube komme.) Ich habe manuelle Würfel benutzt.

Die sechs Partien habe ich übrigens hier abgelegt: A1, A2, A3, B1, B2, B3.

ZugA

Variante A: 1. … 1/7(2) 12/18(2)

ZugB

Variante B: 1. … 1/7 12/18(3)

mini rollout

Variante A: Natürlich lässt sich mit dieser kleinen Stichprobe keine Statistik machen, aber schon die erste Partie mit Variante A (Partie A1) zeigt mir, was sich in den weiteren Partien bestätigt: Mit 1. … 1/7(2) 12/18(2) wird es schwierig, mit den beiden Steinen auf der 7 vorwärts zu kommen. Es wäre mir lieber gewesen, beim Gegner noch länger einen sprichwörtlichen Stein im Brett zu haben als schon zu Beginn die Bude zu räumen.Klar ist es schön, wenn ich Schwarz lange Zeit auf seiner Fußmatte stehe und ihm das Hereinspielen ein wenig erschwere. Aber meine beiden Steine werden sehr unbeweglich und ich bin in meiner Entscheidung, wann ich sie bewege, sehr abhängig vom gegnerischen Spiel (und vom Wurfglück, besonders deutlich erkennbar am 5er-Pasch in der zweiten Partie A2). Mit Wurfglück (einige gute Würfe im Spiel und einmal Riesendusel beim Herausspielen) gewinne ich dennoch, sogar dreifach, was mir eigentlich nie passiert. Das Glück des  blogger-beginners.

Partie A2 verläuft unspektakulär. Mit dem erwähnten 5er-Pasch habe ich das Wurfglück, das notwendig ist, um schon früh meine Soldaten auf der 7 in Marsch zu setzen.

In der dritten Partie A3 entscheide ich mich tatsächlich nach einem Wurf 5 6, zu laufen, werde prompt unglücklich geschlagen, eingemauert und verliere deutlich. Es ist also wohl keine gute Idee, sich verfrüht auf den Weg zu machen: Variante A verlangt Geduld.

Variante B: In der ersten Partie B1 mit der Variante 1. … 1/7(1) 12/18(3) entsteht schnell eine Spielsituation, die meinen Puls leicht ansteigen lässt (bei den A-Partien war ich deutlich ruhiger). Ich werde geschlagen und finde mich früh mit 2 Steinen im gegnerischen Haus wieder. Dies ist genau das Risiko, dass diese Variante nun einmal mit sich bringt. Nun gilt es, den vor dem eigenen Haus gewonnenen Vorteil auszuspielen und dort dem Gegner das Leben schwer zu machen. Zum Glück kann ich in dieser Partie mit beiden Steinen im gegnerischen Haus die strategisch sehr günstige 5 besetzen. Insgesamt kommt mir die Partie offener vor, aber ich habe vor und in meinem eigenen Haus weniger Probleme mit dem Spiel als in den A-Partien. Als ich Schwarz im 7. Zug schlagen kann, bekomme ich das gute Gefühl, dass ich gewinnen werde, denn mein Spiel ist zu diesem Zeitpunkt entwickelter als das des grandmaster – ich kann von der 5 aus beruhigt sein Spiel beobachten. Zwei Paschs und einmal 6 und 5 für gnubg machen es noch einmal spannend, aber mit meinem 13. Zug und dem eigenen 5er-Pasch im 15. Zug ist der Drops gelutscht, wie man so schön sagt.

Auch in der zweiten Partie B2 geht der Stein auf der 7 sofort hops, und dann gleich noch einer hinterher. Das verspricht lustig zu werden. Nach 6 Zügen allerdings habe ich 3 Steine ums Feld herumzuspielen, der Gegner derer 5 (wenn er mich schlägt, schlägt er immer wieder dieselben Steine. Ich hingegen nehme immer weitere seiner Steine aus dem Spiel.) Zudem habe ich meine 3 Wächter auf meiner Schwelle stehen; seine Haustür steht offen. Vielleicht übertreibe ich es dann ein bisschen mit dem Risiko, aber ich komme heile durch die Schlacht. Ab Zug 12 stehen alle Zeichen auf Sieg, da möchte ich nicht in seiner Haut stecken. Und wieder ein Backgammon! (Ich sollte wohl nur noch im „blog-Modus“ spielen, so erfolgreich wie das hier läuft…).

Die dritte Partie B3 beginnt mit dem worst case. Schwarz kann  2. 13/7 10/7 spielen. Aber dass Variante B für unterhaltsame Spiele sorgt, habe ich nun verstanden. Im Haus kann ich leider nicht so schön spielen, wie ich gerne wollte. Der Vorteil der Steine auf der 18 macht sich nur kurz bemerkbar, ich stecke weitere Rückschläge ein und das Spiel zieht sich! Im 34. Zug geht meine letzte Hoffnung flöten und ich verliere. Wäre das mit Variante A wohl auch passiert?

Ergebnis

Nach Selbstversuch stelle ich folgende Behauptung auf: Die Variante B, 1. … 1/7 12/18(3), ist für  Spieler, die ihre Steine beweglich halten und ihre Spielidee aktiv voranbringen möchten. Diese Variante verspricht schon früh im Spiel gute Möglichkeiten des Spiels vor der eigenen Haustür. Variante A, 1. … 1/7(2) 12/18(2), hat den Vorteil, dass die beiden Steine auf der 7 dem Gegner in der Tat sehr unangenehm auf der Matte stehen. Sie sind dort aber auch blockiert, da „von hinten“ kein Backup zu erwarten ist wenn nicht ein eigener Stein geschlagen wird.

Wem das Erschweren des gegnerischen Spiels im Zweifelsfall wichtiger ist als eine aktive (und zumeist risikoreichere) Entfaltung der eigenen Spielidee, der sollte 1. … 1/7(2) 12/18(2) spielen. Ich jedenfalls überlege mir je nach dem Verlauf der vorherigen Partien und nach Bauchgefühl sehr gut, ob ich nicht lieber 1. … 1/7 und 12/18(3) spiele. Mehr Spaß macht mir diese Variante fast immer, und das sollte beim Backgammon nun einmal im Vordergrund stehen.

post scriptum: gnubg und seine Bewertungen

Zum unhöflichen und überheblichen Bewertungs-Stil meines gnubg: Ich verwende die default-Bewertungseinstellungen und 3-ply Analyse ohne Doppler. Man mag mir vorwerfen, übersensibel zu sein, aber ich habe den Eindruck, dass mein Spiel umso häufiger mit awful! bewertet wird, je höher ich gewinne. Gegen den grandmaster gewinne ich im Durchschnitt von nunmehr über 100 archivierten Partien in zwei Dritteln der Fälle (wohlgemerkt — ohne Doppler) und er hält sich weiterhin für supernatural. Jeder normale Mensch würde seine Supranaturalität hinterfragen, wenn er ständig gegen awful! spielende Anfänger und Gelegenheitsspieler verlöre…